프로이덴탈의 이론
① 수학화: 현상을 수학적 수단인 본질에 의해서 조직하는 것
| {{r0c0}} | - 관찰, 실험, 귀납, 유추 등을 통해 현실 상황을 수학적 수단으로 조직하는 단계 |
|---|---|
| {{r1c0}} | - 수학적 처리를 더욱 세련되게 하는 것 - 수학적 경험이 축적됨으로 인해 수학 자체가 세련되고, 형식화, 기호화되는 수학화 |
| {{r2c0}} | - 형식화된 수학을 다른 현실 상황에 응용 |
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1
문제1
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| 수평적 수학화 | - 관찰, 실험, 귀납, 유추 등을 통해 현실 상황을 수학적 수단으로 조직하는 단계 |
|---|---|
| 수직적 수학화 | - 수학적 처리를 더욱 세련되게 하는 것 - 수학적 경험이 축적됨으로 인해 수학 자체가 세련되고, 형식화, 기호화되는 수학화 |
| 응용적 수학화 | - 형식화된 수학을 다른 현실 상황에 응용 |
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문제2
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② 수학화 교수·학습의 원리
| {{r0c0}} | - 교사의 안내 하에 현실에서부터 수학화 활동을 통해 수학적 내용을 재발명 - 수학의 역사 발생 과정을 염두에 두고, 가상적인 학생들을 상대로 가르치고 학생의 반응을 생각하며 대응 방안을 준비하는 '사고실험'을 제안 |
|---|---|
| {{r1c0}} | - 수학화 과정에서의 수준 상승의 원동력은 반성적 사고 - 자신의 행동과 생각을 의식화하여 객관적으로 분석하는 사고 |
| {{r2c0}} | -현실적인 소재를 가지고 수업을 시작 |
| 안내된 재발명 | - 교사의 안내 하에 현실에서부터 수학화 활동을 통해 수학적 내용을 재발명 - 수학의 역사 발생 과정을 염두에 두고, 가상적인 학생들을 상대로 가르치고 학생의 반응을 생각하며 대응 방안을 준비하는 '사고실험'을 제안 |
|---|---|
| 반성적 사고 | - 수학화 과정에서의 수준 상승의 원동력은 반성적 사고 - 자신의 행동과 생각을 의식화하여 객관적으로 분석하는 사고 |
| 현실과 결부된 수학 | -현실적인 소재를 가지고 수업을 시작 |
문제3
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베르트하이머의 이론
→ 수학적 구조를 이해함으로써 문제를 단순화할 수 있고 이것이 바로 발견의 동기가 됨
| {{r0c0}} | - 생산적 사고를 가능하게 하는 문제의 내적 관련성을 파악할 수 있는 학습 ↔ 기계적 방법(· · 도구적 이해) |
|---|---|
| {{r1c0}} | - 전체에 대한 부분의 구조적 기능을 파악하고 부분을 재조직화하여 구조의 개선적 변화가 일어나는 지적과정 |
| {{r2c0}} | -문제 구조의 개선적 변화를 통해 전체가 단순해지고 명료해지는 순간 문제 해결책이 갑작스럽게 떠오르는 통찰(아하 경험)을 경험 |
| 유의미한 학습 | - 생산적 사고를 가능하게 하는 문제의 내적 관련성을 파악할 수 있는 학습 ↔ 기계적 방법(· · 도구적 이해) |
|---|---|
| 생산적 사고 | - 전체에 대한 부분의 구조적 기능을 파악하고 부분을 재조직화하여 구조의 개선적 변화가 일어나는 지적과정 |
| 통찰을 통한 문제 해결 | -문제 구조의 개선적 변화를 통해 전체가 단순해지고 명료해지는 순간 문제 해결책이 갑작스럽게 떠오르는 통찰(아하 경험)을 경험 |
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문제4
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폴리아의 이론
① 문제 해결 4단계
| 단계 | 발문 |
|---|---|
| {{r1c0}} | - 구하고자하는것(미지수인 것)은 무엇인가?, 자료는 무엇인가?, 조건은 무엇인가? - 자기 자신의 말로 문제를 말하여라. - 모든 관련된 정보를 명확하게 표현하거나 적어보아라. - 조건은 만족될 수 있는가?, 조건은 미지인 것을 결정하기에 충분한가? - 조건은 불충분한가?, 또는 과다한가?, 또는 모순되는가? - 주어진 조건들이 서로 어떻게 관련되어 있는지 말해보아라. - 조건을 여러 부분으로 분해하여라. |
| {{r2c0}} | - 전에 이와 유사한 문제를 풀어본 경험이 있는가? (→ 유추적 사고) - 유사한 문제를 풀었을 때 사용한 전략이나 해결 방법은 무엇이었는가? - 관련된 문제를 알고 있는가?, 유용하게 쓰일 수 있는 정리를 알고 있는가? - 자료와 미지인 것 사이의 관계를 찾아보아라. - 해를 구하기 위해서 더 좋은 단서를 얻을 수 있도록 문제를 재진술하여라. - 보다 접근하기 쉬우면서 관련된 문제를 생각할 수 있는가?, 보다 일반적인 문제는?, 문제를 부 분적으로 풀 수 있는가? - 문제를 그림, 표, 그래프 등으로 시각화하여 전략이나 단서를 찾아보게 한다. - 어떤 전략을 선택했으며 왜 그 전략을 사용하려고 하는가? - 자료는 모두 다 사용했는가? 조건은 모두 다 사용했는가? 문제에 포함된 핵심적인 개념은 모 두 고려했는가? |
| {{r3c0}} | - 수립한 전략을 적용하여 차례대로 문제를 해결하도록 한다. - 해결 과정에서 순간적으로 장애에 부딪혔을 때 좌절하거나 포기하지 않도록 격려하고, 주어진 자료를 조건이나 이치에 맞게 적용했는지를 확인하도록 한다. - 풀이 과정을 수시로 확인 · 수정하도록 한다. |
| {{r4c0}} | 문제 해결 과정 검토하기 |
| - 구한 답이 문제의 조건에 맞는가? 계산은 정확한가? - 주어진 자료를 모두 사용하였는가? | |
| 다른 해결 방법 탐색하기 | |
| - 다른 풀이 방법이 더 있는가? 쉬운 방법으로 해결할 수 없는가? | |
| - 더 *1문제의 조건을 변경하여 새로운 문제 만들기 | |
| - 문제의 조건을 바꾸어 문제를 변형하거나 새로운 문제를 만들어 보시오. |
| 단계 | 발문 |
|---|---|
| 문제의 이해 | - 구하고자하는것(미지수인 것)은 무엇인가?, 자료는 무엇인가?, 조건은 무엇인가? - 자기 자신의 말로 문제를 말하여라. - 모든 관련된 정보를 명확하게 표현하거나 적어보아라. - 조건은 만족될 수 있는가?, 조건은 미지인 것을 결정하기에 충분한가? - 조건은 불충분한가?, 또는 과다한가?, 또는 모순되는가? - 주어진 조건들이 서로 어떻게 관련되어 있는지 말해보아라. - 조건을 여러 부분으로 분해하여라. |
| 해결 계획의 수립 | - 전에 이와 유사한 문제를 풀어본 경험이 있는가? (→ 유추적 사고) - 유사한 문제를 풀었을 때 사용한 전략이나 해결 방법은 무엇이었는가? - 관련된 문제를 알고 있는가?, 유용하게 쓰일 수 있는 정리를 알고 있는가? - 자료와 미지인 것 사이의 관계를 찾아보아라. - 해를 구하기 위해서 더 좋은 단서를 얻을 수 있도록 문제를 재진술하여라. - 보다 접근하기 쉬우면서 관련된 문제를 생각할 수 있는가?, 보다 일반적인 문제는?, 문제를 부 분적으로 풀 수 있는가? - 문제를 그림, 표, 그래프 등으로 시각화하여 전략이나 단서를 찾아보게 한다. - 어떤 전략을 선택했으며 왜 그 전략을 사용하려고 하는가? - 자료는 모두 다 사용했는가? 조건은 모두 다 사용했는가? 문제에 포함된 핵심적인 개념은 모 두 고려했는가? |
| 해결 계획의 실행 | - 수립한 전략을 적용하여 차례대로 문제를 해결하도록 한다. - 해결 과정에서 순간적으로 장애에 부딪혔을 때 좌절하거나 포기하지 않도록 격려하고, 주어진 자료를 조건이나 이치에 맞게 적용했는지를 확인하도록 한다. - 풀이 과정을 수시로 확인 · 수정하도록 한다. |
| 반성 | 문제 해결 과정 검토하기 |
| - 구한 답이 문제의 조건에 맞는가? 계산은 정확한가? - 주어진 자료를 모두 사용하였는가? | |
| 다른 해결 방법 탐색하기 | |
| - 다른 풀이 방법이 더 있는가? 쉬운 방법으로 해결할 수 없는가? | |
| - 더 *1문제의 조건을 변경하여 새로운 문제 만들기 | |
| - 문제의 조건을 바꾸어 문제를 변형하거나 새로운 문제를 만들어 보시오. |
*문제 만들기를 위한 전략
| {{r0c0}} | 원래의 문제에 주어진 조건이나 결과를 그대로 받아들여 문제 만들기 활동을 하는 단계 ex) '관찰, 추측' 전략 별+달=5를 만족하는 자연수 쌍 찾기 문제 → 별이 짝수이면 달는 홀수, 별이 홀수이면 달은 짝수라 할 수 있는가? |
|---|---|
| {{r1c0}} | 주어진 문제에서 주어진 조건이나 속성을 나열하고 그것을 분석하고 조건 등을 변화시켜 가면서 새로운 문제를 만들어 나가는 단계 ex) 'What-if-not(만약 ~이 아니라면)' 전략 - 출발점 선택하기 - 속성 찾아 나열하기 - What-if-not - 의문 품기 - 문제 만들기 - 만든 문제 분석하기 |
| 수용 단계 | 원래의 문제에 주어진 조건이나 결과를 그대로 받아들여 문제 만들기 활동을 하는 단계 ex) '관찰, 추측' 전략 별+달=5를 만족하는 자연수 쌍 찾기 문제 → 별이 짝수이면 달는 홀수, 별이 홀수이면 달은 짝수라 할 수 있는가? |
|---|---|
| 도전 단계 | 주어진 문제에서 주어진 조건이나 속성을 나열하고 그것을 분석하고 조건 등을 변화시켜 가면서 새로운 문제를 만들어 나가는 단계 ex) 'What-if-not(만약 ~이 아니라면)' 전략 - 출발점 선택하기 - 속성 찾아 나열하기 - What-if-not - 의문 품기 - 문제 만들기 - 만든 문제 분석하기 |
ㅇㅇㅇ
문제5
② 문제 해결 전략
- 실제로 해 보기: 문제 상황을 모델 또는 구체물로 나타내고 그것을 조작하여 해결하는 방법 (· ·· 활동적 표상)
- 식 만들기: 문제에서 주어진 조건들 사이의 관계를 나타내는 식을 세워 문제를 해결하는 방법
- 예상과 확인: □어떤 문제를 해결할 때 답이 얼마라고 예상해 보고, 그것이 문제의 조건에 적절한지 확인해 보는 전략
- 그림 그리기: 문제에 나타나 있는 사실과 그들 사이의 관계를 그림으로 나타내어 문제를 해결하는 전략
- 표 만들기: 문제에 주어진 자료를 표에 나타내는 전략, 보조 전략으로 활용
- 규칙 찾기: 문제에 주어진 조건이나 관계를 분석하여 어떤 규칙을 찾아내고 이 규칙을 확대 적용해 감으로써 문제 해결
- 단순화하기: 주어진 문제보다 더 간단한 문제를 만들어 해결한 다음, 그 전략을 원래의 문제에 적용하여 해결하는 것
- 거꾸로 풀기: 문제의 결과나 답을 이미 알고 있는 상태에서, 주어진 문제의 최초 조건을 구해야 하는 경우의 문제 해결 과정에 유용하게 사용됨 (@역연산) 목록 만들기: 문제에서 일어날 수 있는 모든 경우를 빠짐없이, 중복없이 헤아리거나 찾을 때 사용하는 전략 ex) 수형도
- 논리적 추론: 문제 상황에서 정답이 될 수 있는 여러 가지 사실에 대해서 주어진 조건을 만족하는지를 이치에 따라 차근차근 점검해 보 고 불가능한 사실을 제거해 가면서 조건을 만족시키는 사실에 이를 때까지 한 단계씩 차례로 고찰해 가는 전략
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