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은 이 중요합니다. 처음에 등장하는 을 '제대로' 이해하여 을 헷갈리지 않아야 합니다. 앞으로 등장하는 측정 (, , 들이, , 등)은 같은 로 전개되기 때문입니다.
즉, 와 의 은 변화하지 않기 때문에 그 이 에서 흔들리지 않아야 측정 을 빠르고 정확하게 학습할 수 있습니다. 보다는 에 집중하는 를 추천합니다. 이 잘 이해되지 않으면 길이나 들이 등의 비교, 측정 등을 예습하면서 비교와 측정을 이해하시는 것도 좋습니다.
&;의 은 와 같습니다.&;
앞선 의 을 암기하세요. 의 3가지, 직접 측정의 방법 2가지를 완벽하게 이해하고 있어야 앞으로 전개되는 내용을 한 번에 이해할 수 있습니다.
또한 에서 단위로 어떻게 넘어가는지, 표준 단위가 확장되는 도 이해해보세요.
따라서 이 이 흔들린다면 앞으로의 을 보기 전 다시 의 내용을 암기하며 을 다진 뒤 에 등장하는 내용을 읽으면 에 빠르게 될 것입니다.
새로운 의 , 단위 의 를 읽어보고 단위의 과 은 와 만 알면 됩니다.
| 2. 측정의 종류 2가지를 알고 있나요? | 직접 간접 측정 |
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| 3. 직접 측정의 종류 2가지를 알고 있나요? | 에 의한 측정 단위에 의한 측정 |
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| 4. 어림 전략 3가지를 알고 있나요? | ()과 비교하기 짓기( 있게 묶기) 하기 |
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| 1. , 을 읽어보세요. (과 도 읽어보세요.) 알고는 있어야 합니다. |
| 2. 비교의 종류 3가지를 설명할 수 있나요? | : 만으로 하는 인 비교 직접 비교: 두 을 직접 맞대어 보기 비교: 을 이용하여 비교 |
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| 3. 측정의 종류 2가지를 설명할 수 있나요? | 직접 : 측정 이용하여 측정하려는 양의 을 직접 측정 간접 측정: 이나 를 이용하여 간접 측정 |
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| 4. ' 의 '을 읽어보고 왜 단위가 필요했는가를 이해해보세요. |
| 5. '직접 측정을 통한 간접 비교'는 매우 중요합니다. 앞으로 자주 나오는 개념이니 꼭 알아 두세요. |
| 6. 와 를 읽어보세요. |
| 2. 임의 단위에서 단위로 넘어가는 는 임의 단위가 불편하기 때문인데 그 이유는 두 가지입니다. ① 같은 측정 대상이라도 사용하는 임의 단위에 따라 단위의 수가 달라진다. ② 대상 비교 시 사용하는 임의 단위가 다르면 어느 것이 더 긴지, 많은지, 무거운지 또, 얼마나 나는지 등을 비교하기 어렵다. |
| 4. 길이의 과 의 을 꼼꼼하게 읽어보세요. 부분은 '같은 계산한다.'로 모두 같습니다. |
| 2. 임의 단위에서 단위로 넘어가는 는 임의 단위가 불편하기 때문인데 그 이유는 두 가지입니다. ① 같은 측정 대상이라도 사용하는 임의 단위에 따라 단위의 수가 달라진다. ② 대상 비교 시 사용하는 임의 단위가 다르면 어느 것이 많은지, 무거운지 또, 얼마나 나는지 등을 비교하기 어렵다. |
| 3. 어림 전략 3가지를 설명할 수 있나요? (설명하지 못하더라도 셋을 구분할 수 있기만 하면 됩니다.) | ()과 비교하기: 이미 들이, 를 알고 있는 것을 짓기( 있게 묶기): 재어야 할 것을 몇 개의 덩어리로 나누고 각각을 어림하여 더하기 하기: 어림할 것의 중 를 단위로 택해 어림한 후 전체가 몇 으로 구성되어 있는지를 생각하여 전체를 |
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| 4. 들이의 과 의 부분을 꼼꼼하게 읽어보세요. 부분은 '같은 단위 계산한다.'로 모두 같습니다. 한 에 물을 가득 담은 후 다른 빈 용기 |
| 5. 들이의 직접 비교 방법을 알고 있나요? | 에 물을 부어 넣으며 비교 |
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| 6. 두 대상보다 들이가 큰 매개물을 이용하는 비교 방법을 알고 있나요? | 두 용기에 물을 가득 채운 뒤 가 같은 의 용기 2개에 각각 부어 물의 양 비교 |
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| 무게 | 2. 임의 단위에서 단위로 넘어가는 는 임의 단위가 불편하기 때문인데 그 이유는 두 가지입니다. ① 같은 측정 대상이라도 사용하는 임의 단위에 따라 단위의 수가 달라진다. ② 대상 비교 시 사용하는 임의 단위가 다르면 어느 것이 많은지, 무거운지 또, 얼마나 나는지 등을 비교하기 어렵다. |
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| 무게 › 3. 어림 전략 3가지를 설명할 수 있나요? (설명하지 못하더라도 셋을 구분할 수 있기만 하면 됩니다.) | ()과 비교하기: 이미 들이, 를 알고 있는 것을 짓기( 있게 묶기): 재어야 할 것을 몇 개의 덩어리로 나누고 각각을 어림하여 더하기 하기: 어림할 것의 중 를 단위로 택해 어림한 후 전체가 몇 으로 구성되어 있는지를 생각하여 전체를 |
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| 무게 | 4. 무게의 과 의 부분을 꼼꼼하게 읽어보세요. 부분은 '같은 단위 계산한다.'로 모두 같습니다. |
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| 무게 › 5. 무게의 직관적 비교 방법을 알고 있나요? | 손으로 들어서 으로 비교 |
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| 7. 한 대상보다는 무겁고 다른 대상보다는 가벼운 매개물을 기준으로 하는 비교 방법을 알고 있나요? | 두 물건을 각각 매개물과 비교하여 매개물보다 무거운 것이 더 무겁다. |
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| [3~ 시간의 덧셈과 뺄셈] 시간의 덧셈과 뺄셈 은 알아두세요. (시간과 시간을 더하면 무엇이 되는지 등) 시간의 덧셈과 뺄셈은 와 만 알면 됩니다. (+ 전 ) |
| 2. 시간의 뺄셈의 원리 이해, 형식화를 알고 있나요? | 원리 이해: 1분은 60초로, 은 60분으로 받아내림하여 계산한다. 형식화: 시는 시끼리, 분은 분끼리, 초는 초끼리 뺀다. |
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| 2. 각도의 정의를 알고 있나요? | 각의 을 으로 각을 이루는 두 변이 벌어진 정도를 나타내는 양 |
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| 3. 각의 직접 비교 방법을 알고 있나요? | 각을 직접 맞대어 각의 (두 각의 한 변을 꼭짓점이 일치하도록 포갠 뒤 한 변의 를 살펴보면서 각의 크기를 비교하며, 각의 크기가 변의 에 좌우되지 않는다.) |
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| 4. 로 만든 각을 이용하는 비교 은 직접 비교가 아닌 비교 방법임을 헷갈리지 말고 알아두세요. 둘 중 의 각을 그대로 투명 종이에 옮겨 비교하는 방법이지만 원래 있던 두 각을 있는 그대로 비교한 것이 아닌 투명 종이에 본을 뜬 각 즉, 을 이용한 것이기 때문에 간접 비교입니다. 투명 종이 그 는 매개물이 아닙니다. |
| 5. 예각과 둔각의 정의를 알고 있나요? | : 0°보다 크고 보다 작은 각 : 직각보다 크고 보다 작은 각 (직각을 으로 ) |
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| 2. 주와 로 중에서는 직접 비교, 비교가 중요합니다. (앞서 드렸다시피 이 흔들리지 않아야 여기가 헷갈리지 않아요.) 간접 비교 방법 중 두 보다 측정하려는 양이 적은 을 이용하는 비교 방법은 모두 같습니다. ① 에 의한 측정 후 ② 직접 측정을 통한 간접 비교 매개물(측정 )을 통해 각 측정 대상이 몇 단위인지를 파악하는 것은 임의 단위에 의한 직접 측정, 파악한 단위의 수를 서로 비교하는 것은 직접 측정을 통한 간접 비교입니다. |
| 2. 정다각형의 둘레를 구하는 간접 측정 방법과 정다각형의 어떤 성질을 이용했는지 알고 있나요? | 한 변의 길이 × 변의 수 (모든 변의 길이가 같은 ) |
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| 3. 직사각형의 둘레를 구하는 간접 측정 방법과 직사각형의 어떤 성질을 이용했는지 알고 있나요? | 와 를 더하고 (마주 보는 두 변의 길이가 각각 같은 성질 이용) |
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| 4. 평행사변형의 둘레를 구하는 간접 측정 방법과 평행사변형의 어떤 성질을 이용했는지 알고 있나요? | 길이가 다른 두 변의 길이를 더하고 2배 (마주 보는 두 변의 길이가 각각 같은 성질 이용) |
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| 5. 마름모의 둘레를 구하는 간접 측정 방법과 마름모의 어떤 성질을 이용했는지 알고 있나요? | 한 변의 길이의 (네 변의 길이가 모두 같은 성질 이용) |
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| 2. 넓이를 구하기 위한 조작 활동 5가지를 알고 있나요? | 반복하기, 만들기, 분할하기, 변형하기 ( , 변형, 변형), 제거하기 (를 아는 것이 중요한 것이 아니고 각각을 어떻게 활용하는지를 아는 것이 중요합니다.) |
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| 3. 직사각형의 둘레를 구하는 공식을 유도할 수 있나요? | &;&; (의 ) = ( × 2) + ( × 2) = (가로 + 세로) × 2 |
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| 5. 마름모의 둘레를 구하는 공식을 유도할 수 있나요? | (의 둘레) = (한 변의 길이) × 4 |
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| 2. 로 본뜬 을 이용하는 비교 은 직접 비교가 아닌 비교 방법임을 헷갈리지 말고 알아두세요. 둘 중 하나의 도형을 그대로 투명 종이에 옮겨 비교하는 방법이지만 원래 있던 두 도형을 있는 그대로 비교한 것이 아닌 투명 종이에 본을 뜬 도형 즉, 을 이용한 것이기 때문 에 간접 비교입니다. 투명 종이 그 는 매개물이 아닙니다. |
| 2. 넓이 공식 원리 이해를 위한 변형 방법 3가지 알고 있나요? | 등적 변형 변형 |
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| 3. 등적 변형 2가지 알고 있나요? | 의 와 의 |
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| 2. 다른 단위도 지만 큰 넓이 단위의 을 인식하여 1cm2에서 , 로 단위를 확장한다는 것 정도만 느껴보세요. |
| 3. 에는 ① 표준 단위로 전체를 덮어서 넓이를 구하다가 ② 와 한 만 놓은 후 그 를 곱해 넓이를 구하고 에는 ③ 각 변에 1cm가 몇 개인지 표시한 그 개수를 곱해 단위 넓이의 개수를 구합니다. 이 에서 가로와 세로의 길이를 곱하면 의 넓이를 구할 수 있다는 을 발견하게 되고 이를 형식화하여 직사각형의 넓이 이 탄생하게 됩니다. (직사각형의 넓이) = (가로) × (세로) (단위 반복하기와 구조 만들기의 정도는 알아두세요.) |
| 6. 카발리에리의 원리를 설명할 수 있나요? | 의 와 가 같으면 모양이 각각 달라도 넓이는 |
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| 7. 배적 변형 방법을 설명할 수 있나요? | 주어진 도형보다 넓이가 n배가 되도록 도형을 변형한 뒤, 그 도형의 넓이를 구해 n으로 나눈다. (n은 ) 즉, 한 뒤 n으로 나누어 를 |
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| 8. 반적 변형 방법을 설명할 수 있나요? | 주어진 도형보다 넓이가 1/n배가 되도록 도형을 변형한 뒤, 그 도형의 넓이를 구해 n을 곱한다. (n은 자연수) 즉, n으로 나눈 뒤 n을 곱해 원래를 도출 |
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| 9. 평행사변형의 넓이 공식을 등적 변형(도형의 분해와 합성)을 이용하여 유도할 수 있나요? | 을 잘라 을 만들어 구함. (직사각형은 넓이 을 이미 알고 있음.) 평행사변형의 밑변과 높이는 각각 직사각형의 와 가 되므로, (평행사변형의 넓이) = (직사각형의 넓이) = (직사각형의 가로) × (직사각형의 세로) = (평행사변형의 밑변) × (평행사변형의 높이) = (밑변의 길이) × (높이) (넓이 공식을 를 이용하여 ) (+ 을 이용한 방법도 동일) |
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| 10. 평행사변형의 넓이 공식을 등적 변형(카발리에리의 원리)을 이용하여 유도할 수 있나요? | 주어진 평행사변형의 밑변의 길이와 높이가 같은 직사각형을 만들어서 평행사변형의 넓이를 구할 수 있다. (의 를 ) |
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| 11. 을 이용하여 평행사변형의 넓이를 구하는 은 혹시 모르니 알아두세요. 나올 것 같지는 않지만 을 위함입니다. 평행사변형 변 위에 있는 점의 를 A, 에 있는 점의 개수를 B라 하면, (평행사변형의 넓이) = (A ÷ 2) + B - 1 |
| 13. 삼각형의 넓이 공식을 등적 변형을 이용하여 구할 수 있나요? (평행사변형과 직사각형 이용) | 주어진 삼각형을 잘라 밑변의 길이는 같고 높이는 반인 평행사변형을 만들어 구함. (평행사변형은 넓이 공식을 이미 알고 있음.) (삼각형의 넓이) = (만들어진 평행사변형의 넓이) = (평행사변형의 밑변의 길이) × (평행사변형 |
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| 14. 사다리꼴의 넓이 공식을 배적 변형을 이용하여 구할 수 있나요? (평행사변형 이용) | 2개를 이어 붙여 만들기 (사다리꼴의 ) = (평행사변형의 넓이)의 반 = (평행사변형의 밑변의 길이) × (평행사변형의 높이) ÷ 2 = {(사다리꼴의 윗변의 길이 + 의 길이)} × (사다리꼴의 높이) ÷ 2 |
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| 15. 사다리꼴의 넓이 공식을 등적 변형을 이용하여 구할 수 있나요? (평행사변형 이용) | 사다리꼴의 높이의 반이 되는 을 잘라 두 을 이어 붙여 평행사변형 만들기 (사다리꼴의 넓이) = (평행사변형의 넓이) = (평행사변형의 밑변의 길이) × (평행사변형의 높이) = {(사다리꼴의 윗변의 길이) + (사다리꼴의 아랫변의 길이)} × {(사다리꼴의 높이)의 반} = {(의 길이) + (아랫변의 길이)} × (높이) ÷ 2 |
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| 16. 사다리꼴의 넓이 공식을 분할하기를 이용하여 구할 수 있나요? (삼각형 이용) | 사다리꼴에 을 그어 삼각형 두 개로 나누어 구하기 (사다리꼴의 넓이) = (삼각형 ⓐ의 넓이) + (삼각형 ⓑ의 넓이) = {(삼각형 ⓐ의 밑변의 길이) × (삼각형의 높이) ÷ 2} + {(삼각형 ⓑ의 밑변의 길이) × (삼각형의 높이) ÷ 2} = {(삼각형 ⓐ의 밑변의 길이) + (삼각형 ⓑ의 밑변의 길이)} × (삼각형의 높이) ÷ 2 = {(사다리꼴의 윗변의 길이) + (사다리꼴의 아랫변의 길이)} × (사다리꼴의 높이) ÷ 2 (삼각형의 높이는 삼각형 ⓐ와 ⓑ가 공유하고, |
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| 18. 마름모의 넓이 공식을 배적 변형을 이용하여 구할 수 있나요? (2가지, 직사각형과 삼각형 이용) | ① 마름모를 둘러싸는 직사각형을 만들기 (마름모의 넓이) = (만들어진 직사각형의 넓이)의 반 = (직사각형의 가로) × (직사각형의 세로) ÷ 2 = (마름모의 한 대각선의 길이) × (마름모의 다른 대각선의 길이) ÷ 2 ② 마름모의 변을 연장하여 넓이가 두 배인 삼각형 만들기 (마름모의 넓이) = (만들어진 삼각형의 넓이)의 반 = {(삼각형의 밑변의 길이) × (삼각형의 높이) ÷ 2} ÷ 2 = [{(마름모의 한 대각선의 길이) × 2} × (마름모의 다른 대각선의 길이) ÷ 2] ÷ 2 = {(한 대각선의 길이) × (다른 대각선의 길이)} × 2 ÷ 2 ÷ 2 = (한 대각선의 길이) × (다른 대각선의 길이) ÷ 2 |
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| 정의 넓이를 구하는 은 읽어보고 으로 학습하세요. 의 은 아니므로 이 높지는 않다고 생각합니다. 이 을 학습하려는 분들은 까지의 과 로 어떤 을 활용하여 넓이 을 유도했는지의 을 쭉 써보며 학습하시는 것이 좋습니다. ) 성취기준은 , 삼각형, , 마름모의 넓이만 |
| 2. 원주와 지름의 관계를 알고 있나요? | 원주는 의 보다 길고, 보다 짧다. 원의 지름이 길어지면 원주도 길어진다. (가 중요한 것이 아닌 원주와 지름의 를 추론하는 에 집중하세요. 암기할 는 없고 과정을 읽으면서 이해하고 넘어가면 됩니다.) |
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| 3. 원주율의 의미를 알고 있나요? | 모든 원에서 원의 지름에 대한 원주의 은 일정하고, 그 비율을 이라 한다. |
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| 5. 원주율을 이용하여 원주를 구하는 식을 알고 있나요? | (원주) = (지름) × (원주율) = () × 2 × (원주율) |
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| 6. 원주율을 이용하여 지름을 구하는 식을 알고 있나요? | (지름) = (원주) ÷ (원주율) |
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| 7. 원의 를 추론하는 여러 을 읽어보고 이해하세요. 단순히 암기하기보다는 원을 잘라 구하기 쉬운 으로 만들 때 원의 가 변형된 도형의 어디에 대응되는지에 집중하는 것이 좋습니다. 나온다면 으로 나올 이 있습니다. 한번 직접 써보시는 것이 좋습니다. |
| 4. 직각삼각형의 넓이 구하는 방법을 이용하여 원의 넓이를 구하는 식을 유도할 수 있나요? | 의 밑변의 길이는 원주와, 높이는 원의 반지름과 같으므로, (원의 넓이) = (직각삼각형의 넓이) = (밑변의 길이) × (높이) ÷ 2 = (원주) × (반지름) ÷ 2 = (지름) × (원주율) × (반지름) ÷ 2 = (지름) ÷ 2 × (반지름) × (원주율) = (반지름) × (반지름) × (원주율) |
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| 2. 직육면체와 의 ( )은 단순하므로 읽어만 보세요. 불안하신 분들은 직접 한 번씩 써보시기 바랍니다. |
| 2. 부피의 직접 비교 방법의 단점 3가지를 알고 있나요? | ① 밑면의 넓이와 높이가 모두 다를 경우 부피 비교 어렵 ② 부피가 얼마나 더 큰지 정확히 모름 ③ 두 를 옮겨서 직접 맞대어 볼 수 없는 경우에는 직접 비교 |
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| 3. 부피의 간접 비교 방법 2가지를 알고 있나요? | ① 과 가 같은 ()으로 채워 각각 넣을 수 있는 물건의 수 비교 (두 보다 부피가 작은 매개물 ) ② 물의 부피 이용 크기가 같은 두 에 같은 양의 물을 채운 뒤 두 대상을 각각 넣어 물의 높이를 직접 맞대어 비교 |
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| 4. 넓이 때와 로 더 큰 물건의 부피를 구하기 위해 새로운 를 도입합니다. (크게 중요한 은 아닙니다. 단위 을 읽어만 보세요.) |
| 6. 의 을 유도하기까지의 과 로 의 공식을 유도하는 과정을 읽어보세요. , , 를 , 3배 했을 때의 부피 를 관찰하며 직육면체의 부피에 을 주는 이 무엇인지를 파악한 후 부피 공식을 유도합니다. |
| 7. 직육면체의 부피와 는 서로 이 없습니다. 가 나온다면 문제일 이 있습니다. 를 찾아서 오을 수정한다는 것 정도만 알아두세요. 의 반례 정도는 알아두세요. |