중등임용-수학 파트 아웃풋 퀴즈

파트 5 (2) 교재연구 수와 연산
1. 인식론적 장애의 의미를 쓰시오.
어떤 특정 맥락에서는 성공적이고 유용한 지식으로서 학생의 의 일부가 되어 있지만, 새로운 문제 상황이나 더 넓어진 문맥에서는 부적합해진 지식이다.

2. 음수 학습에서 인식론적 장애가 발생하는 이유를 쓰시오.
수 개념을 크기와 연관 짓기 때문이다. 예를 들어 작은 수에서 큰 수를 빼는 상황이나 제곱 상황에서 장애가 발생할 수 있다.

3. 각 음수 지도 모델(셈돌 모델, 수직선 모델)의 장단점을 설명하시오.
수직선 모델 장점: 정수가 배열되는 방식은 를 그대로 유지하고 있으며, 를 가장 명확하게 나타낸다.
수직선 모델 단점: 가 왼쪽을 향함, 반대 방향, 뺄셈 등 를 가진다.
장점: 이 자연스럽게 설명된다.
셈돌 모델 단점: 을 설명하는 데 한계를 갖는다.

4. 형식불역의 원리의 의미를 쓰시오.
어떤 나 를 확장할 때에는 이 유지되도록 해야 한다.

5. 형식불역의 원리를 통한 지수법칙의 확장을 설명하시오.

6. 기하적 형식불역의 원리와 대수적 형식불역의 원리를 설명하고 그 의의를 쓰시오.
기하적으로는 이 이 되도록 자연스럽게 확장하는 것이며, 대수적으로는 으로 확장하는 것이다.

7. 셈돌 모델의 적용을 설명하시오.
(1) 2+(-3)
(2) 4-(-2)

8. 수직선 모델의 적용을 설명하시오.
(1) 덧셈과 뺄셈
(2) 곱셈
(3) 나눗셈

9. 정수의 사칙연산 지도 시 셈돌 모델의 약점과 이를 보완할 수 있는 수직선 모델의 장점을 제시하시오.

10. 수직선 모델의 약점과 이를 보완할 수 있는 의 장점을 설명하시오.
곱셈을 자연스럽게 확장시킨다.

11. 직관적 모델의 한계를 보완하는 귀납적 외삽법의 장점을 설명하시오.
자연스럽게 으로 점검해 볼 수 있는 방법이다.

12. 을 사용하지 않고 귀납적 외삽법으로만 지도할 때의 문제점을 설명하시오.
음수를 물리적 세계의 여러 상황으로 해석하면서 수의 영역을 풍요롭게 이해하는 경험을 제공하기 어렵다.

13. 형식불역의 원리에 의한 음수 연산 지도방법을 설명하시오.

파트 3. 연합주의와 형태심리학, 피아제, 브루너 + 교재연구 문자와 식

1. 와 의 의미를 설명하시오.
동화: 기존의 어떤 를 고수하면서 가능한 한 넓은 범위의 상황을 그에 종속시키려고 시도하는 보수적 기능으로서, 기존의 인지 구조에 의한 대상의 해석이다.
조절: 당면한 문제를 해결하기 위하여 자신의 스키마를 조절하고 분화하는 적응 기능이다.

2. , , 의 의미를 각각 설명하시오.
경험적 추상화: 외부 대상이 갖는 성질들로부터 일반화된 지식을 끌어내는 것이다.
반영적 추상화: 아동의 활동에 대한 일반적 조정으로부터 이루어지는 것이다.
의사경험적 추상화: 아동의 활동으로부터 구성이 이루어지지만, 그 구성 결과의 확인은 외부 대상에 대해서 행해지는 것이다.

3. 반영적 추상화 과정을 설명하시오.
: 전 단계에서 얻은 것을 보다 상위의 단계로 옮긴다는 의미이다.
: 행동과 관련된 내적 구성이 이루어져, 이를 의식하고 그 행동을 다른 행동과 결합할 수 있게 하는 것이다.
: 하위 단계에서 사고의 도구였던 것을 사고의 대상으로 변환시키는 것이다.
: 동화와 조절 사이의 과정을 통해 새로운 것이 창조되는 과정이다.

4. EIS 이론을 설명하시오.
: 적절한 운동적 반응을 통하여 표현하는 것이다.
: 도식을 이용하여 표현하는 것이다.
: 기호나 문자식으로 지식을 이해하는 표현 양식이다.

5. 대수의 발달 단계를 제시하시오.
: 미지수나 계산의 전체적인 과정이 일상 언어로 기술되던 단계이다.
: 자주 사용되는 개념이나 계산을 축약된 용어나 머리글자로 나타내는 시기이다.
: 모든 식이 일상 언어로부터 독립된 수학적 기호로 표현되는 단계이다.

6. 대수의 과 을 설명하시오.
절차적 관점: 수치를 얻기 위해 수를 가지고 행하는 산술적 연산이다.
구조적 관점: 수에 대해서가 아니라 대수식 자체에 대해 행해지는 여러 연산이다.

7. 변수의 두 가지 본질에 대해 설명하시오.
: 변하는 대상, 즉 실제로 변하거나 변하는 것으로 가정되는 대상의 운동학적인 상태를 나타내는 것으로서 변하는 수와 변하는 양을 뜻한다.
: , 즉 수학적으로 동치인 여러 대상을 동시에 나타낸 것으로서 임의의 수와 임의의 양을 뜻한다.

8. Usiskin이 분류한 대수 학습에 따른 변수의 의미를 제시하시오.
문제해결 과정의 학습(): 문제 해결 과정에서 얻고자 하는 것은 미지수이다.
일반화의 학습(): 패턴을 일반화하는 도구이다.
양 사이의 관계 학습: , , 로서의 변수이다.
구조의 학습: , 로서의 변수이다.

9. Wagner가 분류한 문자와 수의 차이점에 대해 설명하시오. (문자 사용의 일반성, 유연성)

10. 변수에 대한 인지장애 5가지를 설명하시오.
에 대한 이해 결여, 변수가 나타내는 , 변수를 포함한 대수식을 완결되지 않은 것으로 받아들임, 변수가 특정한 대상만을 대신한다는 것으로 이해, 독립변수와 종속변수 개념의 불완전한 이해이다.

11. 와 의 차이점을 설명하시오.
산술대수: 일상적인 양의 수를 나타내는 기호와 덧셈, 뺄셈 같은 연산기호를 사용해서 얻어지는 학문으로 간주하며, 뺄셈은 큰 수에서 작은 수를 빼는 것이다.
기호대수: 연산의 적용 범위에 제한을 두지 않으며, 뺄셈은 항상 적용될 수 있다.

12. 산술과 대수에서 등호의 의미를 각각 설명하시오.

13. 방정식의 풀이에서 과 의 과정을 설명하시오.
분석: 식이 풀렸다고 가정하고 등식의 성질을 이용하여 방정식을 변형하면서 방정식이 참이 되기 위한 을 찾는 것이다.
종합: 방정식이 참이 되기 위한 필요조건으로 발견한 해가 방정식을 참이 되게 하는 도 되는지 알아보며, 궁극적으로 이 되는 해를 찾아 나가는 것이다.

14. 방정식 풀이에 분석적 사고가 내재된 이유를 설명하시오.

파트 4. 딘즈, 스켐프, 오스벨, 가네, 비고츠키 + 교재연구 함수
1. 를 설명하시오.
의 단계를 거쳐 일단 형성된 수학적 개념은 가 되지만, 분석과 적용 과정에서 로 변하여 보다 객관적이고 높은 수준의 이 이루어진다.
2. 수학학습원리 세 가지를 설명하시오. (역동적 원리 제외)
: 아동은 분석적 사고를 하기 훨씬 이전에 구성적 사고를 발달시키므로, 아동에게 제시하는 수학적 상황은 분석보다는 구성을 요구하는 것이 우선되어야 한다.
: 개념의 성장을 돕기 위해 구조화된 경험을 제공하려면, 개념은 변하지 않게 유지하면서 가능한 한 많은 변인을 변화시켜야 한다.
: 동일한 개념적 주제에 대한 다양한 수단을 사용하여 가능한 한 많은 변화를 주자는 것이다.
3. 딘즈 개념학습원리의 비판점을 설명하시오.
피아제가 의 과정에 포함한 반성의 과정이 포함되었다고 말하기 어려우며, 의 수준에 머물러 있다.
4. 딘즈의 수학개념학습 과정 6단계를 제시하시오.
: 구조화되어 있지 않은 조작이나 실험 활동 등 많은 구체적인 자료를 자유롭게 대하는 시기이다.
: 자유롭게 놀이를 하는 가운데 점차 어떤 규칙성이 있다는 느낌을 갖게 되는 시기이다.
: 놀이의 소재가 되는 여러 구체물 속에 공통적으로 들어 있는 특정 개념의 수학적인 구조를 파악하기 시작하는 시기이다.
: 추상화 과정을 통하여 파악한 개념의 공통성을 적절한 방법으로 표현하는 시기이다.
: 자신만의 적절한 수단으로 표현한 개념을 수학적인 기호를 이용하여 표현하는 시기이다.
: 추상한 개념의 수학적인 구조를 파악하고, 개념이 갖고 있는 여러 성질을 체계화하는 시기이다.
5. 와 의 의미를 제시하시오.
도구적 이해: 이유는 모르는 채 암기한 규칙을 문제해결에 적용하는 것이다.
관계적 이해: 무엇을 해야 할지 그리고 왜 그런지를 모두 알고 있으면서 일반적인 수학적인 관계로부터 특수한 규칙이나 절차를 연역할 수 있는 상태이다.
6. 관계적 이해의 장점을 설명하시오.
새로운 과제에 적응하기 쉽고 기억하기 쉬우며, 그 자체로 목적이 되고 스키마가 질적으로 유기적으로 형성된다.
7. 스켐프의 지능 두 가지를 제시하고 설명하시오.
: 외부에서 얻은 자료를 수용기를 통하여 인식하며, 중재 사고 활동을 거치지 않고 수용기를 통하여 이루어지는 지능이다.
: 중재 사고 활동이 자기 반성적 인식의 대상이 되는 지능이다.
8. 비고츠키의 발달수준 두 가지를 제시하고 의 의미를 설명하시오.
: 학생이 다른 사람의 도움 없이 독립적으로 문제를 해결할 수 있는 수준이다.
: 좀 더 지식이 풍부한 교사, 성인 또는 유능한 또래의 도움을 얻어 문제를 해결할 수 있는 수준이다.
9. 의 뜻과 의의를 설명하시오.
학습자가 주어진 과제를 잘 수행할 수 있도록 유능한 또래나 교사의 도움을 제공하는 지원이다.
10. 근접발달영역 4단계를 제시하고 설명하시오.
1단계: 유능한 타인의 도움을 받아 과제를 수행하는 단계이다.
2단계: 학생 스스로 과제를 수행하는 단계이다.
3단계: 과제 수행이 완전히 발달하여 와 가 이루어지는 단계이다.
4단계: 새로운 능력의 발달을 위해 반복해서 근접발달영역이 순환되는 단계이다.
11. 유의미학습 원리를 설명하시오. (선행조직자의 원리 제외)
: 특정 수학 내용의 가장 일반적이고 포괄적인 아이디어들을 우선 제시하고, 점차 특수화되고 세분화된 방향으로 학습 지도를 조직해야 한다.
: 새로운 학습 내용과 이미 학습된 내용의 유사성과 차이점을 분명하게 하여, 새로운 학습 내용이 인지 구조 내에서 의식적으로 조정되고 통합되도록 해야 한다는 원리이다.
12. 의 역할을 쓰시오.
구체적인 학습 과제 내용과 잘 연계되도록 도우면서, 동시에 잠재적으로 내재한 절차가 아이디어의 일반적인 내용과도 관련 가능하도록 돕는 역할을 한다.
13. 함수의 역사적 발달 5단계를 제시하시오.
: 함수가 무엇인가에 대한 논의가 없는 단계이다.
: 함수가 의식화되어 사용되고 정의되며 발달하기 시작한 단계이다.
: 변수를 정의하고 함수를 일가 대응으로 정의한 단계이다.
: 대응, 일가성과 임의성을 강조한 단계이다.
: 공리론적 집합론을 기초로 함수를 정의한 단계이다.
14. 의 등장 배경과 의 뜻을 설명하시오.
일가성 등장 배경: 방정식에서 한 변수를 다른 변수로 나타낼 때, 한 가지가 아니라 여러 가지로 나타낼 수 있는데 이때 사용되는 다가기호들을 혼동 없이 다루려면 많은 주의가 필요하다.
임의성: 함수는 어떤 특별한 표현에 의해 기술되거나 어떤 규칙성을 따르거나 특별한 형태를 가진 그래프에 의해 묘사될 필요가 없고, 임의의 대응의 개념으로 정의되어야 한다.
15. 함수의 여러 측면 중 행동, 과정, 대상을 설명하시오.

16. 과 에 따른 함수 지도의 차이를 설명하시오.
교수학적 현상학: 다양한 현상에 대한 경험을 제공하고, 이를 더 구체적으로 다루기 위해 , , 과 연결하여 특성을 명확히 한다. 이후 구체적인 함수 이름에 해당되는 와 , 등을 알게 하고 특성을 파악하게 한 후 적절한 을 도입한다. 즉 현상에서 본질로 나아간다.
구조주의적 관점: 을 통해 함수를 정의하고, 이와 관련하여 과 등을 지도한다. 함수의 예로 특정한 함수들을 다루면서 응용문제로 몇 가지 함수 현상을 다룬다.
17. , , , 과 을 각각 설명하시오.
점별 접근: 그래프를 해석할 때 한 점에만 초점을 맞추는 것이다.
국소적 접근: 한 점의 근방에서 그래프의 변화를 보는 것이다.
전체적 접근: 어떤 구간이나 전체 구간에 걸쳐 그래프를 해석하는 것이다.
질적 접근: 수량화되지 않은 상태로 개략적으로 표현하고 설명하는 것이다.
양적 접근: 정확한 수치적 자료를 이용해서 좌표평면이나 좌표공간에 정확하게 그리는 것이다.

파트 5 (1) 수리철학, 라카토스, 프로이덴탈
1. 원리를 제시하고 설명하시오.
(1) : 지식은 감각을 통하거나 의사소통에 의해 수동적으로 받아들여지는 것이 아니다. 지식은 인식하는 주체에 의해서 능동적으로 구성된다.
(2) : 인식의 기능은 적응적이며, 생물학적인 용어로 또는 을 지향하는 경향을 지닌다.
(3) : 인식은 주체가 를 조직하는 데 도움을 주는 것이지, 객관적인 를 발견하는 것을 돕는 것이 아니다.
2. 와 급진적 구성주의의 차이점을 설명하시오.
(1) 객관성 의미:
(2) 언어의 역할:
3. 사회적 구성주의에서 말하는 지식 구성 과정을 설명하시오.
(1) 이 이 되는 과정: 개인의 주관적인 수학적 지식이 을 통해 객관적인 수학적 지식이 되는 과정이다. 공표된 수학은 다른 사람들에 의해 비판과 조사의 대상이 되며, 라카토스의 의 논리에 따라 재형식화된다.
(2) 객관적 지식이 주관적 지식이 되는 과정: 사회의 객관적인 수학적 지식이 개인의 주관적 지식으로 내면화된다는 것은 언어와 수학의 학습을 통하여 객관적인 수학적 지식에 대한 주관적 표상을 구성하는 것이다.
4. 라카토스가 주장하는 전면적 반례 대응방식 3가지를 설명하시오.
(1) : 반례가 잘못되었다고 보고 반례를 배제하여 원래의 추측을 존속시키는 방법이다.
(2) : 새로운 반례가 나타날 때마다 예외에 대하여 언급한 조건 절을 첨가하여 안전한 영역으로 철수하는 방법이다.
(3) : 반례가 출현하게 된 원인이 되는 부분 추측을 찾아 그것을 원래 추측에 합체시키고 증명을 고치는 방법이다.
5. 라카토스의 수학적 지식성장 과정 4단계를 설명하시오.

6. 라카토스의 증명관과 수학관을 설명하시오.
,
7. 와 수학화 과정에 대해 설명하시오.
수학화: 현상을 수학자의 필요에 맞게 적절히 손질하여 본질로 조직해내는 이다.
: 에 의해 수준 상승이 이루어지는 불연속적인 과정이다.
8. 와 를 설명하시오.
수평적 수학화: 현실 내의 문제 장면을 형식적인 수학적 처리가 가능하도록 변환하는 것이다.
수직적 수학화: 세련된 좀 더 높은 수학적 처리가 가능하도록 하는 것이다.
9. 프로이덴탈의 를 설명하시오.
본질을 단지 학습자에게 부과하는 학습 방식이다.
10. 에 대해 설명하시오.
학생들은 교사의 안내 하에 감정이 이입될 수 있는 현실로부터 에 의해 주관적 의미를 갖는 수학적 내용을 재발명해 나가는 과정을 학습 과정에서 반드시 경험해야 한다.
11. 사고실험의 의미와 역할을 쓰시오.
교사의 입장에서 학생들의 재발명을 돕기 위해서, 학생의 입장과 반응을 고려함과 동시에 자신의 입장에서 개인 수학자의 마음에 대해 추측하는 것이다.
12. 사고실험의 두 가지 측면에 대해 설명하시오.
(1) 장면 관련: 교사나 교과서 저자가 학생 또는 한 그룹의 가상적인 학생들과 그들의 반응을 생각하면서 그에 따라 가르치거나 저술하는 태도를 의미한다.
(2) 내용 관련: 어떤 수학적 개념을 발명했거나 수학적 방법을 개선한 개인 수학자의 마음속에 어떤 일이 일어났는지에 대해서 추측하는 것을 의미한다.
13. 수학화 과정을 설명하시오.
1) 을 직관적으로 탐구하는 단계: 들을 알아내고 규칙성을 발견하는 것이다.
2) : 학생들 간의 상호작용, 학생들과 교사와의 상호작용, 학생들의 형식화와 추상화 능력 같은 요인에 의존해서 현실 상황으로부터 수학적 개념을 추출해내는 단계이다.
3) : 형식화와 추상화가 중심이며, 예상되고 결과적으로 발생되는 수학적 개념에 대해 기술과 엄격하고 형식적인 정의가 뒤따르는 단계이다.
4) : 개념을 새로운 문제에 적용함으로써 개념을 강화하고 일반화하는 단계이다.

파트 6. (1) 반힐레 + 교재연구 기하 인출

1. 과 각 수준의 특징을 설명하시오.
: 전체적인 모양새로 도형을 인식한다.
: 도형의 성질에 주목한다.
: 여러 도형 사이의 관계와 한 도형의 여러 성질 사이의 관계를 이해한다.
: 연역적 추론을 이해하며 형식적 증명을 구성한다.
: 여러 수학 체계에 대하여 형식적으로 추론한다.

2. 제3수준과 제4수준이 주는 시사점은 무엇인지 설명하시오.
제3수준에서의 은 제4수준에서의 의 필연적인 전제 조건이다.

3. 기하 학습 수준에서 각 단계의 과 을 제시하시오.
반힐레 수준에서는 한 수준의 사고의 대상이 다음 수준의 사고의 수단이 된다. 이를 의 이행으로 볼 수 있다.

4. 반힐레의 수학 학습 수준 상승을 위한 교수학습 5단계를 설명하시오.
: 교사와 학생 사이의 대화를 통해 새로운 학습 주제를 소개한다.
: 학생은 신중하게 계열화된 활동을 통해 새로운 학습 주제의 특징에 익숙해진다.
: 익숙해진 새로운 과제를 표현하는 활동을 통하여 명확히 한다.
: 문제해결적 성격을 갖는 보다 복잡한 과제에 도전한다.
: 자신의 관찰을 재검토하고 요약하며 새로운 그물망을 형성한다.

5. 의 의미를 쓰시오.
학습자가 접하고 있는 영역에서 참이라고 인정되는 사실, 즉 로부터 시작해서 부분적으로 조직화하는 것이다.

6. 의 의미와 의의를 쓰시오.
여러 성질들 중에서 어느 하나를 다른 것으로 이끌어내는 로 설정하는 과정이다. 성질들을 증명을 통해 함으로써 학생들 스스로 명제를 만드는 경험을 할 수 있다.

7. 의 의의를 설명하시오.
정의, 정리, 증명 순서로 이루어지는 증명 교육은 지식의 자연스러운 발생의 순서를 거꾸로 뒤집는 오류를 범할 수 있다.

8. 과 의 의미와 예시를 제시하시오.
수직적 관련성: 개념들 간의 위계구조, 개념들 간의 계통성이다.
수평적 관련성: 어떤 대상이나 현상을 여러 개념을 통해 동시에 파악하는 것이다.

9. 기하 개념 형성에서 장애의 원인을 3가지 설명하시오.
: 각각의 개념을 분리된 것으로 파악한다는 것이다.
: 개념을 특정 맥락에만 고착시키는 것이다.
: 어떤 대상에서 두드러지는 개념이 그 대상을 다른 개념으로 해석하는 것을 방해하는 것이다.

10. , , 에서 증명관을 설명하시오.
절대주의: 정당화의 수단, 종합적 측면이다.
준경험주의: 발견의 수단, 분석적 측면이다.
사회적 구성주의: 확신과 설명의 수단이다.

11. 준경험주의, 사회적 구성주의에서 증명의 의미를 반영한 활동을 설명하시오.

12. 라카토스의 증명의 의미 두 가지를 제시하시오.
증명의 본질은 이며, 증명 절차는 추측을 으로 분해하여 그것을 이미 알고 있는 것과 연결시키는 과정이다.

13. 으로만 증명을 지도할 때 문제점과 대안을 설명하시오.
증명이 어떻게 해서 그런 모습으로 나타나게 되었는가를 학생들에게 이해시킬 수 없다.

14. 종합법과 분석법을 함께 이용하는 활동의 수학교육적 의의를 쓰시오.
역동적인 수학적 사고 활동으로 증명을 지도할 필요가 있다. 결론이 성립하기 위한 전제 조건을 탐색하는 을 통해 증명 방법을 찾고, 종합적 방식을 통해 증명 과정을 정리할 수 있도록 증명을 지도하여야 한다.

15. 학생들이 증명 학습에서 드러내는 어려움과 해결방안 4가지를 쓰시오.
증명 방법의 어려움: 분석적 방식을 과감하게 도입한다.
의 어려움: 가정만을 제시하여 결론을 스스로 탐색하게 한다.
정당화 수단으로서 증명의 한계: 으로서 증명 지도가 필요하다.
의 어려움: 기호를 점진적으로 도입한다.