초등임용 기본이론 수학 아웃풋

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1. 1.
   스켐프의 수학 학습 이론
   도구적 이해와 관계적 이해

   도구적 이해	정의	규칙이나 공식이 구성된 이유는 모르면서 기계적으로 규칙이나 공식을 암기하여 문제 해결 등에 적용하는 것
   	장점	- 정리하기 쉽고 빠르게 학습 목표를 달성할 수 있음 - 학습결과의 보상은 보다 즉각적
   관계적 이해	정의	수학적 규칙이나 공식이 왜 그렇게 만들어졌는지에 대한 명확한 이유와 그 적용 방법까지 깊이 있게 아는 것
   	장점	- 이해한 방법을 새로운 문제에 응용할 수 있음 - 학습 내용의 기억이 오래 지속됨. 지식을 잊더라도 그 형성과정을 다시 유추하여 상기0 - 학습 자체에 흥미와 자신감

2. 2.
   디에네스의 개념 학습 이론
   ① 개관
   - 구조화된 학습 과정에서의 구체적 자료와 게임의 사용을 강조
   - 수학적 구조를 구체화할 수 있는 교수 자료: 디에네스 블록(수 모형), 속성 블록
   ② 개념 학습 단계 ··· 수학적 개념을 가르치기 위한 구조화된 학습 단계

   1: 자유 놀이 S	내용	- 수학적 구체물을 제공하여 어떤 특별한 구조화된 방법이 아니라 그들 나름대로 자유롭게 가지고 놀 도록 허락 - 학습해야 하는 수학적 개념이 포함된 구체물을 제공
   	예시	삼각형을 가르칠 때 삼각형과 삼각형이 아닌 도형을 구체물로 제시하고 자유롭게 모아 모양을 만들거나 분류해보도록 한다.
   2: 게임 S	내용	- 놀이를 하는 가운데 어떤 정해진 조건이나 제한이 가해짐
   	예시	같은 종류의 도형을 찾는 게임을 하여 도형의 성질을 직관적으로 알아보게 한다.
   3: 공통점 탐색 S ⓚ 귀납적 사고	내용	- 구조화된 다양한 게임에서 공통적으로 들어 있는 특정 개념의 수학적 구조를 파악 → 어떤 수학적 개념을 추상화 - 공통적인 것을 추출하는 경험, 관계없는 것을 제거하는 경험
   	예시	같은 종류의 도형들이 가지고 있는 성질을 생각해 보도록 한다.
   4: 표현 S	내용	- 공통적인 구조나 추상화된 개념을 파악한 후, 그것을 다양하게 표현하는 단계 - 간단한 그림, 말이나 글, 그래프, 모형, 다른 함축적 표현 등
   	예시	같은 종류의 도형들이 공통적으로 가지고 있는 성질을 언어적으로 표현하여 삼각형의 개념을 지도한다.
   5: 상징화 S	내용	- 스스로 선택한 표현 방법을 수학적 기호(용어)와 결부시킴 → 보다 높은 추상화
   	예시	꼭짓점, 변, 삼각형을 기호로 표현하여 다룬다.
   6: 형식화 S ⓚ 연역적 사고	내용	- 개념의 여러 가지 성질을 체계화 - 개념의 기본적인 성질(공리)로부터 다른 성질(정리)에 이르는 규칙을 찾음(증명)
   	예시	임의의 삼각형과 특수한 삼각형의 성질을 형식화하여 다룬다. (삼각형 세 각의 합은 180° → 둔각삼각형은 한 각만 둔각)

3. 3.
   ③ 개념 학습 원리

   역동성(활동성)의 원리	수학적 개념을 구성할 수 있도록 다양한 활동이 필요
   구성의 원리	게임을 구조화할 때, 구성이 분석에 선행되어야 함 *구성: 물체를 만들거나 전체를 파악 / 분석: 물체를 분해하거나 작은 부분을 검토, 근거 파악 ex) 패턴 블록을 이용하여 다양한 방법으로 정육각형 만들기 → 정육각형의 성질을 분석
   지각적 다양성의 원리	수학적 개념을 지도할 때 지각적으로는 다르지만 구조적으로 동형인 다양한 구체물 제공
   수학적 다양성의 원리	해당 개념과 관련된 변수(결정적 속성)를 고정시키고 관련이 없는 변수(비결정적 속성)는 가능한 다양하게 변화시켜 제시

4. 4.
   브루너의 학습 이론
   ① EIS 이론

   활동적 표상(E)	경험한 것이나 알고 있는 사실을 적절한 행위와 동작을 통해 표현하는 것 ex) 손가락을 활용한 곱셈구구
   영상적 표상(I)	경험한 것이나 알고 있는 사실을 그림이나 모형, 사진 등으로 표현하는 것 ex) 수직선, 누름 못과 띠종이로 원을 그린 것
   기호적(상징적) 표상(S)	경험한 것이나 알고 있는 사실 또는 사물의 특징 등을 기호를 사용해서 표현하는 것 *도형의 개념을 지도하는 것도 기호적 표상

5. 5.
   ② 수학 학습 원리

   구성의 원리	완성된 형태의 표현을 학생들에게 제시하기보다는 그 개념이나 원리, 규칙을 학생 스스로 직접 표현해 보도록
   대조와 다양화의 원리	어떤 개념을 단독으로 학습하기보다는 다른 개념들과 대조하게 하고 그 개념의 다양한 예를 함께 제시함
   표현의 원리	수학적 개념이나 원리에 대한 표현이 학생들의 인지 발달 수준에 맞게 이루어져야 함
   연결성의 원리	수학에서 각각의 개념, 원리, 기능은 또 다른 개념, 원리, 기능등과 연결되어야 함

6. 6.
   피아제의 인지 발달 이론과 추상화
   ① 인지 발달 과정

   조직과 구조상의 변화		스키마와 스키마의 결합을 통해 단순한 인지 구조가 복잡한 인지 구조로 발달함 *스키마: 우리가 어떤 대상이나 사건을 머릿속으로 표상하거나 생각할 수 있도록 하는 행동이나 사고의 조직화된 시스템
   적응을 위한 변화	동화	새로운 지식을 머릿속에 이미 존재​하는 스키마로 이해하려 하는 것
   	조절	기존의 스키마를 변형시키거나 새로운 스키마를 만들어 새로운 지식을 이해하는 것
   	기존 스키마와 맞지 않아 그 정보를 조절하기 위해 완전히 새로운 스키마를 만듦.	새로운 스키마
   평형화(균형화)		인지적 균형이나 안정감의 상태 ↔ 비평형화(불균형)

7. 7.
   ② 인지 발달 단계

   감각운동기(0~2세)	- 신체적 감각을 통하여 인지구조를 변화시켜 나가는 단계. 영속성
   전조작기(2~7세)	- 미숙하지만 생각으로 사물을 다룰 수 있는 정신적 조작​ 능력이 발달하는 단계 - 가역적 사고X, 보존 개념X
   구체적 조작기 (7~12세)	- 논리적인 사고를 함에 있어 대상을 물리적으로 저작하는 것이 필요한 단계 - 가역성의 원리 터득, 보존 개념 획득 - 수 개념​의 보존: 원소의 배열과 관계없이 집합 수는 불변이다. - 길이의 보존: 이동과 분해 혹은 변형과 관계 없이 길이는 불변이다. - 넓이의 보존: 이동과 분해 혹은 변형과 관계 없이 넓이는 불변이다. ex) 등적변형: 도형의 모양은 변하더라도 넓이는 변하지 않는 것
   형식적 조작기(12~)	- 구체물을 사용하지 않고도 정신의 추상적인 활동을 표현하는 단계

8. 8.
   ③ 추상화 유형

   경험적 추상화	외부 대상이 가지는 물리적 속성에 대한 지식을 이끌어 내는 추상화 ex) 원반, 접시 등의 물체를 관찰하는 경험을 통해 둥글다는 속성을 추상화
   반영적 추상화	대상에 대한 인식 주체의 조작 행동을 추상화한 것 → 논리-수학적 지식 형성 ex) 일 모형 10개를 십 모형 1개로 바꾸는 조작 행동에 대해 의식함 → 받아올림의 원리에 대한 논리-수학적 지식을 형성함
   의사-경험적 추상화	반영적 추상화의 범주에 들어가지만 구체적 대상 없이는 이루어질 수 없는 추상화 → 논리-수학적 지식 형성
   	- 의사-경험적: 받아올림의 원리에 대한 논리-수학적 지식을 형성하였지만 다른 문제를 해결할 때 수 모형을 활용해야만 문제를 해결 가능 - 반영적: 수 모형 없이 해결 가능